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設A、B是拋物線y2=x上的兩點,O為原點,且OA⊥OB,則直線AB必過定點
 
分析:聯立直線方程與拋物線方程,利用消元法得到關于x的一元二次方程,由OA⊥OB得x1x2+y1y2=0,建立關于參數k,b的關系,消去b可得y=kx-k=k(x-1),顯然直線恒過(1,0),注意對直線的斜率的討論.
解答:解:設點A,B的坐標分別為(x1,y1),(x2,y2
(1)當直線l有存在斜率時,設直線方程為y=kx+b,顯然k≠0且b≠0.(2分)
聯立方程得:
y=kx+b
y2=x
消去y得k2x2+(2kb-1)x+b2=0
由題意:x1x2=
b2
k2
,y1y2=
b
k
(5分)
又因為OA⊥OB,所以x1x2+y1y2=0,(7分)
b2
k2
+
b
k
=0

解得b=0(舍去)或b=-k(9分)
故直線l的方程為:y=kx-k=k(x-1),故直線過定點(1,0)(11分)
(2)當直線l不存在斜率時,設它的方程為x=m,顯然m>0
聯立方程得:
x=m
y2=x
解得 y=±
m
,即y1y2=-m
又因為OA⊥OB,所以可得x1x2+y1y2=0,即m2-m=0,解得m=0(舍去)或m=1
可知直線l方程為:x=1,故直線過定點(1,0)
綜合(1)(2)可知,滿足條件的直線過定點(1,0).
故答案為:(1,0).
點評:本題考查了直線與拋物線的位置關系,以及證明直線恒過定點與直線的設法等問題,屬于中檔題型.
練習冊系列答案
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    ②求證:直線AB經過一個定點;

③求弦AB中點Q的軌跡方程

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設A、B是拋物線y2=x上的兩點,O為原點,且OA⊥OB,則直線AB必過定點   

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同步練習冊答案
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