Question

已知關于x的不等式：

(a+1)x-3

x-1

＜1．
（1）當a=1時，解該不等式；
（2）當a＞0時，解該不等式．

Answer 1

分析：（1）把a=1代入不等式，把右邊的1移項到左邊，通分后，根據兩數相除，異號得負的取符號法則得到x-2與x-1異號，轉化為兩個不等式組，求出兩不等式組解集的并集即可得到原不等式的解集；
（2）把原不等式的右邊的1移項到左邊，通分合并后，根據兩數相除異號得負的取符號法則及a大于0，得到ax-2與x-1異號，先求出（ax-2）（x-1）=0的兩個解分別為

2

a

和1，根據求出的兩解相等，求出a的值，得到此時原不等式無解；根據

2

a

大于1，求出此時a的范圍，根據不等式取解集的方法可得a的范圍；同理

2

a

小于1時，求出相應的a的范圍，綜上，得到原不等式的解集．

解答：解：（1）把a=1代入原不等式得：

2x-3

x-1

＜1，即

x-2

x-1

＜0，
可化為：

x-2＞0 x-1＜0

或

x-2＜0 x-1＞0

，
解得：1＜x＜2，
則原不等式的解集為（1，2）；
（2）a＞0時，

(a+1)x-3

x-1

＜1?

ax-2

x-1

＜0?(ax-2)(x-1)＜0，
令方程（ax-2）（x-1）=0，解得：x1=

2

a

，x2=1，
綜上：①當

2

a

=1，即a=2時，解集為∅；
②當

2

a

＞1即0＜a＜2時，解集為：{x|1＜x＜

2

a

}；
③當

2

a

＜1即a＞2時，解集為：{x|

2

a

＜x＜1}；

點評：此題考查了其他不等式的解法，利用了轉化及分類討論的數學思想，是高考常考的題型．本題轉化的理論依據為：兩數相乘（除）：同號得正，異號得負的取符號法則．