Question

（2009•孝感模擬）已知向量

a

=（cos x，0），

b

=（0，sin x），記函數f（x）=（

a

+

b

）²+sin 2x，
（1）求函數f（x）的最大值和取最小值；
（2）若不等式|f（x）-t|＜2在x∈[

π

4

，

π

2

]上有解，求實屬t的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由f（x）=（

a

+

b

）²+sin 2x=1+sin2x結合-1≤sin2x≤1可求函數的最值
（2）由x∈[

π

4

，

π

2

]可得sin2x∈[0，1]，而|f（x）-t|=|sin2x-t+1|＜2在x∈[

π

4

，

π

2

]上有解，可得t-3＜sin2x＜1+t，從而可求t的范圍

解答：解：（1）∵f（x）=（

a

+

b

）²+sin 2x=1+sin2x
∵-1≤sin2x≤1
∴0≤f（x）≤2
∴函數f（x）的最小值是0，f（x）的最大值是2
（2）∵x∈[

π

4

，

π

2

]
∴sin2x∈[0，1]
∵|f（x）-t|=|sin2x-t+1|＜2在x∈[

π

4

，

π

2

]上有解，
∴t-3＜sin2x＜1+t
∴

t-3≤0 t+1≥1

∴0≤t≤3

點評：本題主要考查了平面向量的數量積的基本運算及正弦函數的性質的綜合應用，屬于中檔試題