Question

已知函數f（x）=ax²+ax-4（a∈R）．
（1）若函數f（x）恰有一個零點，求a的值；
（2）若對任意a∈[1，2]，f（x）≤0恒成立，求x的取值范圍；
（3）設函數g（x）=（a+1）x²+2ax+2a-5，是否存在實數a，使得當x∈（-2，-1）時，函數g（x）的圖象始終在f（x）圖象的上方，若存在，試求出a的取值范圍，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）函數f（x）=ax²+ax-4僅有一個零點，分函數是一次函數還是二次函數討論，即a=0和a≠0討論，特別a≠0時，轉化為二次函數圖象與x軸只有一個交點，△=0即可求得結果．
（2）由題意得：因為任意a∈[1，2]，f（x）≤0恒成立，令 H（a）=ax²+ax-4=（x²+x）a-4，本題等價于：H（a）≤0在a∈[1，2]上恒成立，再利用一次函數的性質求解即得．
（3）對于存在性問題，可先假設存在，即假設存在這樣的實數a，則必有F（x）=x²+ax+2a-1＞0在區間（-2，-1）上恒成立，再利用二次函數的圖象與性質，求出實數a，若出現矛盾，則說明假設不成立，即不存在；否則存在．

解答：解：（1）當a=0時，f（x）=-4無零點，舍去       …（1分）
當a≠0時，有△=a²+16a=0解得 a=-16或a=0（舍去） …（3分）
綜合得：a=-16…（4分）
（2）由題意得：因為任意a∈[1，2]，f（x）≤0恒成立，
令 H（a）=ax²+ax-4=（x²+x）a-4
所以，本題等價于：H（a）≤0在a∈[1，2]上恒成立． …（7分）
又H（0）=-4
所以，H（2）=2（x²+x）-4≤0即  x²+x-2≤0，
解得：-2≤x≤1…（10分）
（3）令 F（x）=g（x）-f（x）=x²+ax+2a-1…（12分）
假設存在這樣的實數a，則必有F（x）=x²+ax+2a-1＞0在區間（-2，-1）上恒成立．
又因為F（x）對稱軸方程  x=-

a

2

，所以有：
①

- a 2 ≤-2 F(-2)=4-2a+2a-1≥0

…（13分）
解得：

a≥4 a∈R

所以   a≥4
②

- a 2 ≥-1 F(-1)=1-a+2a-1≥0

…（14分）
解得：

a≤2 a≥0

所以   0≤a≤2
③

-2＜- a 2 ＜-1 △=a2-4(2a-1)＜0

解得：

2＜a＜4 4-2 3 ＜a＜4+2 3

所以  2＜a＜4…（15分）
綜合以上得：a≥0
所以，存在這樣的實數a，當實數a≥0時，函數g（x）的圖象始終在f（x）圖象的上方．…（16分）
備注：解答題其它解題方法酌情給分．

點評：考查函數零點與函數圖象與x軸的交點問題、函數恒成立問題，體現了轉化的思想方法，對函數的類型討論，體現了分類討論的思想，也是易錯點，屬中檔題．