Question

已知函數f(x)=2x+

a

x

，且f（1）=1．
（1）求實數a的值，并寫出f（x）的解析式；
（2）判斷函數f（x）的奇偶性，并加以證明；
（3）判斷函數f（x）在（1，+∞）上的單調性，并加以證明．

Answer 1

分析：（1）由f（1）=1即可解得a值，從而得函數解析式；
（2）利用函數奇偶性的定義即可作出判斷；
（3）利用導數符號與函數單調性的關系容易作出正確判斷；

解答：解：（1）由f（1）=1得，2+a=1，解得a=-1，
所以f（x）=2x-

1

x

；
（2）函數f（x）為奇函數，證明如下：
函數定義域為（-∞，0）∪（0，+∞），
且f（-x）=-2x+

1

x

=-（2x-

1

x

）=-f（x），
所以f（x）為奇函數；
（3）f（x）在（1，+∞）上單調遞增，證明如下：
因為f′（x）=2+

1

x2

＞0，
所以f（x）在（1，+∞）上單調遞增．

點評：本題考查函數的奇偶性、單調性的判斷證明，屬基礎題，定義是解決該類題目的基本方法．