Question

已知函數f（x）=x³+ax²+bx+c的一個零點為x=1，另外兩個零點可分別作為一個橢圓、一雙曲線的離心率，則a+b+c=    ；的取值范圍是    ．

Answer 1

【答案】分析：把x=1，y=0代入函數解析式求得a+b+c的值；然后求得a，b和c的關系代入函數解析式消去c，整理成f（x）=（x-1）（x²+x+1）+a（x+1）（x-1）+b（x-1）的形式，設g（x）=x²+（a+1）x+1+a+b橢圓和雙曲線的離心率的范圍確定兩根的范圍確定g（0）＞0，g（1）＜0，最后利用線性規劃求得的范圍．
解答：解：依題意可知f（1）=1+a+b+c=0
∴a+b+c=1
1+a+b+c=0得c=-1-a-b代入
f（x）=x³+ax²+bx-1-a-b
=（x-1）（x²+x+1）+a（x+1）（x-1）+b（x-1）
設g（x）=x²+（a+1）x+1+a+b
g（x）=0的兩根滿足0＜x₁＜1 x₂＞1
g（0）=1+a+b＞0
g（1）=3+2a+b＜0
用線性規劃得-2＜＜-
故答案為：-1，
點評：本題主要考查了函數的零點和根的分布，圓錐曲線的共同特征，線性規劃的基礎知識．考查基礎知識的綜合運用．