Question

2．已知曲線f（x）=3mx+sinx上存在互相垂直的兩條切線，則實數m的值為（　　）

• A． $\frac{3}{10}$
• B． $-\frac{2}{7}$
• C． 1
• D． 0

Answer 1

分析 先求導函數，函數f（x）的圖象上存在互相垂直的切線，不妨設在x=k與x=n處的切線互相垂直則（3m+cosk）（3m+cosn）=-1，然后整理，根據m的值必然存在，△≥0可求出m的值．

解答 解：∵f（x）=3mx+sinx，
∴f′（x）=3m+cosx，
函數f（x）=3mx+sinx的圖象上存在互相垂直的切線，
不妨設在x=k與x=n處的切線互相垂直，
則（3m+cosk）（3m+cosn）=-1
∴9m²+3（cosk+cosn）m+（coskcosn+1）=0   （*）
因為m的值必然存在，即方程（*）必然有解，所以
判別式△=9（cosk+cosn）²-36（coskcosn+1）≥0
所以  cos²k+cos²n-2coskcosn=（cosk-cosn）²≥4
解得cosk-cosn≥2  或   cosk-cosn≤-2
由于|cosx|≤1，所以有cosk=1，cosn=-1  或 cosk=-1，cosn=1，且△=0
所以（*）變為：m²=0所以m=0
故選D．

點評 本題主要考查了導數的幾何意義，以及判別式判定方程的根，同時考查了函數與方程的思想和計算能力，屬于中檔題．