Question

設x=3是函數f(x)=（x²+ax+b）e^3-x（x∈R）的一個極值點，
（1）求a與b的關系式（用a表示b），并求f(x)的單調區間；
（2）設a＞0，，若存在ξ₁，ξ₂∈[0，4]，使得|f(ξ₁)-f(ξ₂)|＜1成立，求a的取值范圍。

Answer 1

解：（1）∵，
∴
，
由題意得：，
即，b=-2a-3，
∴且，
令得，
∵x=3是函數的一個極值點，
∴，即a≠-4，
故a與b的關系式為b=-2a-3（a≠-4），
當a＜-4時，，由得單增區間為：（3，-a-1）；
由得單減區間為：（-∞，3）和（-a-1，+∞）；
當a＞-4時，，由得單增區間為：（-a-1，3）；
由得單減區間為：（-∞，-a-1）和（3，+∞）；
（2）由（1）知：當a＞0時，，f(x)在[0，3]上單調遞增，在[3，4]上單調遞減，
，，
∴f(x)在[0，4]上的值域為；
易知在[0，4]上是增函數，
∴g(x)在[0，4]上的值域為，
由于，
又∵要存在，使得成立，
∴必須且只須，解得：；
所以，a的取值范圍為。