Question

對于任意實數x，符號[x]表示x的整數部分，即[x]是不超過x的最大整數．那么[log₂1]+[log₂2]+[log₂3]+[log₂4]+…+[log₂512]=

3595

．

Answer 1

分析：先根據對數的運算性質判斷[log₂1]、[log₂2]、[log₂4]…[log₂512]的大小，最后加起來即可．

解答：解：∵log₂1=0，log₂2=1，log₂4=2，log₂512=log₂2⁹=9，
∴當2^n-1≤x＜2ⁿ時，[log₂x]=n-1，
即[log₂2]=[log₂3]=1，[log₂4]=[log₂5]=[log₂6]=[log₂7]=2，…
∴[log₂1]+[log₂2]+[log₂3]+…+[log₂512]
=0+1×（2²-2¹）+2×（2³-2²）+3×（2⁴-2³）+4×（2⁵-2⁴）+5×（2⁶-2⁵）+6×（2⁷-2⁶）+7×（2⁸-2⁷）+8×（2⁹-2⁸）+9
=1×2+2×4+3×8+4×16+5×32+6×64+7×128+8×256+9=3595
故答案為：3595．

點評：本題主要考查對數的運算性質及新定義的理解與應用．綜合性較強．