Question

【題目】已知函數f（x）= （m∈Z）為偶函數，且在（0，+∞）上為增函數．
（1）求m的值，并確定f（x）的解析式；
（2）若g（x）=loga[f（x）﹣ax]（a＞0且a≠1），是否存在實數a，使g（x）在區間[2，3]上的最大值為2，若存在，求出a的值，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：由函數 在（0，+∞）上為增函數，

得到﹣2m2+m+3＞0

解得 ，又因為m∈Z，

所以m=0或1．

又因為函數f（x）是偶函數

當m=0時，f（x）=x3，不滿足f（x）為偶函數；

當m=1時，f（x）=x2，滿足f（x）為偶函數；

所以f（x）=x2

（2）解： ，令h（x）=x2﹣ax，

由h（x）＞0得：x∈（﹣∞，0）∪（a，+∞）

∵g（x）在[2，3]上有定義，

∴0＜a＜2且a≠1，∴h（x）=x2﹣ax在[2，3]上為增函數．

當1＜a＜2時，g（x）max=g（3）=loga（9﹣3a）=2，

因為1＜a＜2，所以 ．

當0＜a＜1時，g（x）max=g（2）=loga（4﹣2a）=2，

∴a2+2a﹣4=0，解得 ，

∵0＜a＜1，∴此種情況不存在，

綜上，存在實數 ，使g（x）在區間[2，3]上的最大值為2

【解析】（1）由冪函數在（0，+∞）上為增函數且m∈Z求出m的值，然后根據函數式偶函數進一步確定m的值，則函數的解析式可求；（2）把函數f（x）的解析式代入g（x）=loga[f（x）﹣ax]，求出函數g（x）的定義域，由函數g（x）在區間[2，3]上有意義確定出a的范圍，然后分類討論使g（x）在區間[2，3]上的最大值為2的a的值．
【考點精析】利用復合函數單調性的判斷方法和奇偶性與單調性的綜合對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知復合函數f[g(x)]的單調性與構成它的函數u=g(x)，y=f(u)的單調性密切相關，其規律：“同增異減”；奇函數在關于原點對稱的區間上有相同的單調性；偶函數在關于原點對稱的區間上有相反的單調性．