Question

是否存在常數a、b、c，使得等式1×2²＋2×3²＋3×4²＋…＋n(n＋1)²＝(an²＋bn＋c)對一切正整數n都成立？并證明你的結論．

Answer 1

答案：
解析：

解：∵n(n＋1)2＝n3＋2n2＋n， 　　∴Sn＝1×22＋2×32＋3×42＋…＋n(n＋1)2 　　＝(13＋2×12＋1)＋(23＋2×22＋2)＋…＋(n3＋2×n2＋n) 　　＝(13＋23＋…＋n3)＋2(12＋22＋…＋n2)＋(1＋2＋…＋n)． 　　由于下列等式對正整數n都成立， 　　13＋23＋…＋n3＝，12＋22＋…＋n2＝， 　　1＋2＋…＋n＝． 　　由此可知Sn＝(3n2＋11n＋10)． 　　綜上所述，當a＝3，b＝11，c＝10時，題設的等式對一切正整數n都成立． 　　思路解析：數列求和在數列中占有重要的位置，有關存在性、探索性的問題是檢驗學生能力的關鍵所在．