Question

已知F₁、F₂是橢圓

x2

a2

+

y2

(10-a)2

=1（5＜a＜10）的兩個焦點，B是短軸的一個端點，則△F₁BF₂的面積的最大值是

100 3

9

．

Answer 1

分析：先根據(jù)條件判斷出焦點所在位置，并求出C，進而表示出三角形的面積，再利用導數(shù)求出其最大值即可得到結(jié)論．

解答：解：由題得：橢圓焦點在X軸上且c²=a²-（10-a）²=20a-100⇒c=

20a-100

，
∵F₁、F₂是橢圓

x2

a2

+

y2

(10-a)2

=1（5＜a＜10）的兩個焦點，B是短軸的一個端點
∴△F₁BF₂的面積：S=

1

2

|F₁F₂|•b=

1

2

•2c•b=bc=（10-a）•

20a-100

=

(10-a) 2(20a-100)

令y=（10-a）²（20a-100）=20（a³-25a²+200a-500），
∴y^′=20（3a²-50a+200）=20（a-10）（3a-20）
所以當a＜

20

3

或a＞10時y′＞0；
當

20

3

＜a＜10時y^′＜0．
∴當a=

20

3

時，y有最大值，
所以y_max=20×[(

20

3

)3-25×(

20

3

)2+200×

20

3

-500]=

10000

27

∴Smax=

10000 27

=

100 3

9

．
故答案為：

100 3

9

．

點評：本題主要考察橢圓的基本性質(zhì)以及導數(shù)知識在求最值的應用問題．解決本題的關鍵在于利用導數(shù)求出面積的最大值．