Question

【題目】已知拋物線C：的焦點為F，Q是拋物線上的一點，．

（Ⅰ）求拋物線C的方程；

（Ⅱ）過點作直線l與拋物線C交于M，N兩點，在x軸上是否存在一點A，使得x軸平分？若存在，求出點A的坐標，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）存在，

【解析】

（Ⅰ）由題意可知，設(shè)，由即可求出p的值，從而得到拋物線C的方程；

（Ⅱ）對直線l的斜率分情況討論，當(dāng)直線l的斜率不存在時，由拋物線的對稱性可知x軸上任意一點A（不與點重合），都可使得x軸平分；

當(dāng)直線l的斜率存在時，由題意可得，設(shè)直線l的方程為：與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達定理代入得，解得，故點．

解：（Ⅰ）由題意可知，，

∵點Q在物線C：上，∴設(shè)，

，

∴，解得，

∴拋物線C的方程為：；

（Ⅱ）①當(dāng)直線l的斜率不存在時，由拋物線的對稱性可知x軸上任意一點A（不與點重合），都可使得x軸平分；

②當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)直線l的方程為：，

設(shè)，，

聯(lián)立方程，

消去y得：，

，（*），

假設(shè)在x軸上是否存在一點，使得x軸平分，

∴，

∴，

∴，

又，，

∴，

把（*）式代入上式化簡得：，

∴，

∴點，

綜上所求，在x軸上存在一點，使得x軸平分．