Question

已知圓C的圓心在y軸上，半徑為1，且經過點P（1，2）．
（1）求圓的方程；
（2）直線l過點P且在圓上截得的弦長為，求l的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）設圓心的坐標為（0，b），則由題意可得  1=，解出 b 即得圓心坐標，根據半徑
求得圓的方程．
（2）當l的斜率不存在時，經檢驗不滿足條件．當l的斜率存在時，用點斜式設 l的方程，由弦長公式求得
圓心到直線l 的距離，此距離就是圓心到直線的距離，求出 k 值，即得所求的直線方程．
解答：解：（1）設圓心的坐標為（0，b），則由題意可得  1=，∴b=2，
故圓心為（0，2），故所求的圓的方程為 x²+（y-2）²=1．
（2）當l的斜率不存在時，l的方程為 x=1，此時，直線l和圓相切，不滿足條件．
當l的斜率存在時，設斜率為k，則l的方程為 y-2=k（x-1），即 kx-y+2-k=0．
設圓心到直線l 的距離為d，則由弦長公式可得  =2，∴d=．
由點到直線的距離公式可得  =，∴k=1，或 k=-1，
故l的方程為 x-y+1=0，或 x+y-3=0．
綜上，l的方程為x-y+1=0，或 x+y-3=0．
點評：本題考查圓的標準方程，點到直線的距離公式，弦長公式的應用，體現了分類討論的數學思想，
求出圓心到直線l 的距離d是解題的關鍵．