Question

已知函數f(x)=

x3 x+1 ，x∈( 1 2 ，1] - 1 6 x+ 1 12 ，x∈[0， 1 2 ]

，函數g(x)=asin

π

6

x-a+1（a＞0），若存在x₁、x₂∈[0，1]，使得f（x₁）=g（x₂）成立，則實數a的取值范圍是

[

1

2

，2]

．

Answer 1

分析：根據給出的函數f（x）的解析式求出其值域為[0，

1

2

]，然后求出函數g（x）在x∈[0，1]上的值域，由存在x₁、x₂∈[0，1]，使得f（x₁）=g（x₂）成立，說明函數g（x）的最值中至少一個在[0，

1

2

]范圍內，最后列式求解a的范圍．

解答：解：由f(x)=

x3

x+1

，得：f′(x)=

3x2(x+1)-x3

(x+1)2

=

2x3+3x2

(x+1)2

，
當x∈(

1

2

，1]時，f^′（x）＞0，所以函數f（x）在(

1

2

，1]上為增函數，所以f（x）∈(

1

12

，

1

2

]，
當x∈[0，

1

2

]時，函數f（x）為減函數，f（x）∈[0，

1

12

]，所以在[0，1]上f（x）∈[0，

1

2

]，
函數g(x)=asin

π

6

x-a+1，當x∈[0，1]時，sin

π

6

x∈[0，

1

2

]，
所以g(x)∈[1-a，1-

a

2

]
若存在x₁、x₂∈[0，1]，使得f（x₁）=g（x₂）成立，說明函數函數g（x）的最大值與最小值中至少一個在[0，

1

2

]中，
所以0≤1-a≤

1

2

或0≤1-

a

2

≤

1

2

，解得：

1

2

≤a≤2，
所以實數a的取值范圍是[

1

2

，2]．
故答案為[

1

2

，2]．

點評：本題主要考查函數的零點及函數的零點存在性定理，考查了數學轉化思想，本題把函數的零點的研究轉化為元素與集合之間的關系問題．