Question

設(shè)P是雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)上的一點(diǎn)，F(xiàn)₁、F₂分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，則以線段PF₂為直徑的圓與以雙曲線的實(shí)軸為直徑的圓的位置關(guān)系是（　　）

A．內(nèi)切

B．外切

C．內(nèi)切或外切

D．不相切

Answer 1

分析：利用雙曲線的定義，通過圓心距判斷出當(dāng)點(diǎn)P分別在左、右兩支時(shí)，兩圓相內(nèi)切、外切．

解答：解：設(shè)以實(shí)軸|F₁F₂|為直徑的圓的圓心為O₁，其半徑r₁=a，
線段PF₂為直徑的圓的圓心為O₂，其半徑為r₂=

|PF2|

2

，
當(dāng)P在雙曲線左支上時(shí)，
|O₁O₂|=

|PF1|

2

，
∵r₂-|O₁O₂|=

|PF2|

2

-

|PF1|

2

=a=r₁，
∴兩圓內(nèi)切．
當(dāng)P在雙曲線右支上時(shí)，
|O₁O₂|=

|PF1|

2

，
∵|O₁O₂|-r₂=

|PF1|

2

-

|PF2|

2

=a=r₁，
∴r₁+r₂=|O₁O₂|
∴兩圓外切．
故選C．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線和雙曲線的位置關(guān)系，考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．對(duì)數(shù)學(xué)思維的要求比較高，有一定的探索性．綜合性強(qiáng)，難度大，易錯(cuò)點(diǎn)是容易只考慮P點(diǎn)在一個(gè)分支上而導(dǎo)致丟解，是高考的重點(diǎn)．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．