Question

設函數f（x）=msinx+3cosx（m∈R），若函數f（x）的圖象與直線y=n（n為常數）相鄰兩個交點的橫坐標為x1=

π

12

，x2=

7π

12

（1）求函數f（x）的解析式；
（2）在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，f（A）=3，a=2，求△ABC周長l的范圍．

Answer 1

分析：（1）利用函數f（x）的圖象與直線y=n（n為常數）相鄰兩個交點的橫坐標為x1=

π

12

，x2=

7π

12

，建立方程，即可求得m的值，從而可求函數f（x）的解析式；
（2）先確定A的值，再利用余弦定理、基本不等式，即可求△ABC周長l的范圍．

解答：解：（1）根據題意得：msin

π

12

+3cos

π

12

=msin

7π

12

+3cos

7π

12

=n，
變形得：m=

3(cos 7π 12 -cos π 12 )

sin π 12 -sin 7π 12

=

-6sin π 3 sin π 4

-2cos π 3 sin π 4

=3

3

∴f（x）=3

3

sinx+3cosx；
（2）f（x）=3

3

sinx+3cosx=6sin（x+

π

6

）
∵f（A）=3，∴6sin（A-

π

6

）=3，∵A∈（0，π），∴A=

π

3

∵a=2，∴4=b²+c²-2bccos

π

3

=b²+c²+bc=（b+c）²-bc
∵b+c≥2

bc

，∴0＜bc≤

(b+c)2

4

∴

3(b+c)2

4

≤（b+c）²-bc＜（b+c）²，
∴

3(b+c)2

4

≤4＜（b+c）²，∴2＜b+c≤

4 3

3

∴4＜a+b+c≤2+

4 3

3

∴4＜l≤2+

4 3

3

點評：本題考查三角函數的化簡，考查余弦定理，考查基本不等式的運用，考查學生的計算能力，屬于中檔題．