Question

已知F₁、F₂是橢圓（a＞b＞0）的左、右焦點，點P在橢圓上，線段PF₂與y軸的交點M滿足．
（Ⅰ）求橢圓的標準方程；
（Ⅱ）過F₂作不與x軸重合的直線l，l與圓x²+y²=a²+b²相交于A、B并與橢圓相交于C、D，當=λ，且λ∈時，求△F₁CD的面積S的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由題設知M為線段PF₂的中點，所以OM是△PF₁F₂的中位線，由OM⊥F₁F₂，知PF₁⊥F₁F₂，由此能求出橢圓方程．
（Ⅱ）設直線l的方程為x=ty+1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由，得（t²+1）y²+2ty-2=0，再由根與系數的關系結合題設條件進行求解．
解答：解：（Ⅰ）∵PM=MF₂，∴M為線段PF₂的中點，∴OM是△PF₁F₂的中位線，又OM⊥F₁F₂
∴PF₁⊥F₁F₂，于是有c=1且，解得a²=2，b²=c²=1，∴橢圓方程為（4分）
（Ⅱ）由（1）知F₁（-1，0），F₂（1，0），由題意，設直線l的方程為x=ty+1，
A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由
得（t²+1）y²+2ty-2=0，則，，（5分）
F₁A•F₁B=（x₁+1，y₁）•（x₂+1，y₂）=（x₁+1）（x₂+1）+y₁y₂
=（ty₁+2）（ty₂+2）+y₁y₂=（t²+1）y₁y₂+2t（y₁+y₂）+4=，
∵，∴，解得（7分）
由消x得（t²+2）y²+2ty-1=0，設C（x₃，y₃），D（x₄，y₄）則=（10分）
設t²+1=m，則，其中，
∵S關于m在上為減函數，∴，即△F₂CD的面積的取值范圍為（12分）
點評：本題考查直線的圓錐曲線的位置關系，解題時要認真審題，仔細解答，注意公式的靈活運用．