Question

如圖，正方形ADEF與梯形ABCD所在的平面互相垂直，AD⊥CD，AB∥CD，AB=AD=

1

2

CD=2，點M在線段EC上．
（I）當點M為EC中點時，求證：BM∥平面ADEF；
（II）當平面BDM與平面ABF所成銳二面角的余弦值為

6

6

時，求三棱錐M-BDE的體積．

Answer 1

分析：（I）建立空間直角坐標系，用坐標表示點與向量，驗證

BM

•

OC

=0，即

BM

⊥

OC

，從而可證BM∥平面ADEF；
（II）利用平面BDM與平面ABF所成銳二面角的余弦值為

6

6

，確定點M為EC中點，從而可得S_△DEM=2，AD為三棱錐B-DEM的高，即可求得三棱錐M-BDE的體積．

解答：（I）證明：以直線DA、DC、DE分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，則A（2，0，0），B（2，2，0）C（0，4，0），E（0，0，2），所以M（0，2，1）．
∴

BM

=(-2，0，1)--------（2分）
又

OC

=(0，4，0)是平面ADEF的一個法向量．
∵

BM

•

OC

=0，∴

BM

⊥

OC

∴BM∥平面ADEF------（4分）
（II）解：設M（x，y，z），則

EM

=(x，y，z-2)，
又

EC

=(0，4，-2)，設

EM

=λ

EC

(0＜λ＜1，則x=0，y=4λ，z=2-2λ，即M（0，4λ，2-2λ）．（6分）
設

n

=(x1，y1，z1)是平面BDM的一個法向量，則

OB

•

n

=2x1+2y1=0

OM

•

n

=4λy1+(2-2λ)z1=0
取x₁=1得 y1=-1，z1=

2λ

1-λ

即  

n

=(1，-1，

2λ

1-λ

)
又由題設，

OA

=(2，0，0)是平面ABF的一個法向量，------（8分）
∴|cos＜

OA

，

n

＞|=

OA • n

| OA |•| n |

=

2

2 2+ 4λ2 (1-λ)2

=

6

6

⇒λ=

1

2

--（10分）
即點M為EC中點，此時，S_△DEM=2，AD為三棱錐B-DEM的高，
∴V_M-BDE=VB-DEM=

1

3

•2•2=

4

3

----------（12分）

點評：本題考查線面平行，考查三棱錐的體積．考查利用向量知識解決立體幾何問題，屬于中檔題．