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已知x，y，z均為正數．求證：
x
yz
+
y
zx
+
z
xy
≥
1
x
+
1
y
+
1
z
．
分析：分別對
x
yz
+
y
zx
，
y
xz
+
z
yx
，
z
xy
+
x
yz
進行化簡分析，得出與
2
z
，
2
x
，
2
y
的關系，然后三個式子左右分別相加除以2即可得到結論．
解答：證明：因為x，y，z都是為正數，
所以
x
yz
+
y
zx
=
1
z
(
y
x
+
x
y
)  ≥
2
z
   ①
同理可得
y
xz
+
z
yx
≥
2
x
                    ②
z
xy
+
x
yz
≥
2
y
                    ③

當且僅當x=y=z時，以上三式等號都成立．
將上述三個不等式兩邊分別相加，并除以2，
得：
x
yz
+
y
zx
+
z
xy
≥
1
x
+
1
y
+
1
z
點評：本題考查不等式的證明，涉及基本不等式的應用，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

【選做題】在A，B，C，D四小題中只能選做2題，每小題10分，共計20分．請在答題卡指定區域內作答．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
A．選修4-1　幾何證明選講
如圖，⊙O的直徑AB的延長線與弦CD的延長線相交于點P，E為⊙O上一點，AE=AC，DE交AB于點F．求證：△PDF∽△POC．
B．選修4-2　矩陣與變換
若點A（2，2）在矩陣M=
cosα-sinα
sinαcosα
對應變換的作用下得到的點為B（-2，2），求矩陣M的逆矩陣．
C．選修4-4　坐標系與參數方程
已知極坐標系的極點O與直角坐標系的原點重合，極軸與x軸的正半軸重合，
曲線C1：ρcos(θ+
π
4
)=2
2
與曲線C2：
x=4t2
y=4t
（t∈R）交于A、B兩點．求證：OA⊥OB．
D．選修4-5　不等式選講
已知x，y，z均為正數．求證：
x
yz
+
y
zx
+
z
xy
≥
1
x
+
1
y
+
1
z
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

A．如圖，⊙O的直徑AB的延長線與弦CD的延長線相交于點P，E為⊙O上一點，AE=AC，DE交AB于點F．求證：△PDF∽△POC．
B．已知矩陣A=
.
1-2
3-7
.
．
（1）求逆矩陣A-1；
（2）若矩陣X滿足AX=
3
1
，試求矩陣X．
C．坐標系與參數方程
已知極坐標系的極點O與直角坐標系的原點重合，極軸與x軸的正半軸重合，曲線C1：ρcos（θ+
π
4
）=2
2
與曲線C2：
x=4t2
y=4t
，（t∈R）交于A、B兩點．求證：OA⊥OB．
D．已知x，y，z均為正數，求證：
x
yz
+
y
zx
+
z
xy
≥
1
x
+
1
y
+
1
z
．

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科目：高中數學 來源：隨堂練1＋2　講·練·測　高中數學·必修1（蘇教版） 蘇教版 題型：047

已知x、y、z均為正實數，且3x＝4y＝6x，求證

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知x,y,z均為正實數,且4xy+z2+2yz+2xz=8,則x+y+z的最小值是

A.8                  B.4                   C.2                    D.2

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科目：高中數學 來源：2012年江蘇省南京外國語學校高考數學沖刺模擬試卷（解析版） 題型：解答題

A．如圖，⊙O的直徑AB的延長線與弦CD的延長線相交于點P，E為⊙O上一點，AE=AC，DE交AB于點F．求證：△PDF∽△POC．
B．已知矩陣A=．
（1）求逆矩陣A-1；
（2）若矩陣X滿足，試求矩陣X．
C．坐標系與參數方程
已知極坐標系的極點O與直角坐標系的原點重合，極軸與x軸的正半軸重合，曲線C1：ρcos（θ+）=2與曲線C2：
，（t∈R）交于A、B兩點．求證：OA⊥OB．
D．已知x，y，z均為正數，求證：．

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