Question

有一學生對函數f（x）=xcosx進行了研究，得到如下五條結論：①函數f（x）在（一π，0）上單調遞增，在（0，π）上單調遞減；
②存在常數M＞0，使|f（x）|≤M|x|對一切實數x均成立；
③函數y=f（x）圖象的一個對稱中心是(

π

2

，0)；
④函數y=f（x）的圖象與x軸有無窮多個公共點，且任意相鄰兩公共點間的距離相等；
⑤函數y=f（x）的圖象與直線．y=x有無窮多個公共點，且任意相鄰兩公共點間的距離相等；其中正確結論的序號是

②⑤

．（寫出所有你認為正確的結論的序號）

Answer 1

分析：研究函數f（x）得單調性可知函數f（x）為奇函數，結合奇函數的對稱區間上的單調性可判斷①；根據y=cosx是有界函數可判斷②；根據函數基本性質：對稱性的應用可判斷③；令f（x）=xcosx=0，可求方程的解，從而可得函數y=f（x）的圖象與x軸有無窮多個公共點，且任意相鄰兩公共點間的距離不相等，由此能判斷④；令f（x）=xcosx=x，可求方程的解，從而可得函數y=f（x）的圖象與x軸有無窮多個公共點，且任意相鄰兩公共點間的距離相等，由此能判斷⑤．

解答：解：①因為f（x）=xcosx
所以，f（-x）=-xcos（-x）=-xcosx=-f（x）
則函數f（x）是奇函數，在對稱的區間上單調性相同，故①錯誤；
②因為|cosx|≤1，令M=2即得|f（x）|≤M|x|成立，故②正確；
③因為f（

1

2

π+x）+f（

1

2

π-x）=-（π+2x）sinx+（π-2x）sinx=-4xsinx≠0，
所以點（

1

2

π，0）不是函數y=f（x）圖象的一個對稱中心，故③錯誤；
④令f（x）=xcosx=0，∴x=0或cosx=0，∴x=0或x=kπ+

π

2

，（k∈Z），
故函數y=f（x）的圖象與x軸有無窮多個公共點，
且任意相鄰兩公共點間的距離不相等，故④不成立；
⑤令f（x）=xcosx=x，∴cosx=1，∴x=0或x=kπ，（k∈Z），
故函數y=f（x）的圖象與x軸有無窮多個公共點，
且任意相鄰兩公共點間的距離相等，故⑤成立．
故答案為：②⑤．

點評：本題主要考查函數單調性與其導函數的正負之間的關系以及函數的基本性質--對稱性的應用．屬中檔題．