Question

在等差數(shù)列是{a_n}中，已知a₄與a₂與a₈的等比中項(xiàng)，a₃+2是a₂與a₆的等差中項(xiàng)，S_n是前n項(xiàng)和，則滿(mǎn)足的所有n值的和為_(kāi)_______．

Answer 1

35
分析：由a₄是a₂與a₈的等比中項(xiàng)，a₃+2是a₂與a₆的等差中項(xiàng)，可求得公差、首項(xiàng)，進(jìn)而得到通項(xiàng)a_n，從而求得S_n及，于是可求出，解不等式，由n的范圍可確定n值，其和易求．
解答：設(shè)等差數(shù)列是{a_n}的公差為d，由a₄是a₂與a₈的等比中項(xiàng)，得=（a₁+d）（a₁+7d），化簡(jiǎn)得①，
由a₃+2是a₂與a₆的等差中項(xiàng)，得2（a₁+2d+2）=（a₁+d）+（a₁+5d），解得d=2，代入①得a₁=d=2．
所以a_n=a₁+（n-1）•d=2n，
則=n（n+1），
所以==，
則=1-+++…+=1-，
由已知得＜1-＜，解得＜n＜，
又n∈Z，所以n=5，6，7，8，9，且5+6+7+8+9=35，
故答案為：35．
點(diǎn)評(píng)：本題考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合、數(shù)列求和問(wèn)題，屬中檔題，通項(xiàng)公式、求和公式及相關(guān)基本方法是解決問(wèn)題的基礎(chǔ)．