Question

函數(shù)y=f（x）是偶函數(shù)，當x≥0時，f（x）=x²-4x+3．
（1）求f（-3）的值，并指出f（x）的單調遞增區(qū)間；
（2）若當x∈[a，2a+1]時，f（x）的最大值為3，求a的取值集合．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)f（x）為偶函數(shù)f（-x）=f（x），求出x＜0時，f（x）的解析式，畫出f（x）的圖象，很容易求出f（x）的單調遞增區(qū)間；
（2）根據(jù)f（x）的圖象可知，當x∈[a，2a+1]時，f（x）的最大值為3，需要進行討論a與2a+1必須在-4到4之間，從而求出a的集合；

解答：解：（1）函數(shù)y=f（x）是偶函數(shù)，當x≥0時，f（x）=x²-4x+3．
若x＜0，可得-x＞0，f（-x）=x²+4x+3，
可得f（x）=f（-x）=x²+4x+3，
∴f（-3）=（-3）²+4×（-3）+3=0，
畫出f（x）的圖象如下：

由圖象可知：f（x）的單調增區(qū)間為：（2，+∞），（-2，0）；
f（x）的單調減區(qū)間為：（-∞，-2），（0，2）；
（2）因為當x∈[a，2a+1]時，f（x）的最大值為3，
可以知道a與2a+1肯定在-4和4之間移動，
∴

0≤2a+1≤4 -4≤a≤0

解得-

1

2

≤a≤0，
若2a+1=4可得a=

3

2

，也滿足題意；
若a=-4，也滿足題意；
∴a的取值集合：{a|-

1

2

≤a≤0或a=-4或a=

3

2

}；

點評：此題主要考查偶函數(shù)的性質及利用數(shù)形結合的方法求出函數(shù)的單調區(qū)間，第二問需要討論端點值，是一道好題；