Question

已知函數f(x)=

mx3

3

+ax2+(1-b2)x，m，a，b∈R．
（Ⅰ）當m=1時，若函數f（x）是R上的增函數，求z=

3

a+b的最小值；
（Ⅱ）當a=1，b=

3

時，函數f（x）在（2，+∞）上存在單調遞增區間，求m的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）由m=1，我們可以求出函數f（x）及f'（x）的解析式（含參數a，b），由函數f（x）是R上的增函數，f'（x）≥0恒成立，根據二次函數恒成立的條件，可得a²+b²≤1，進而求出z=

3

a+b的最小值；
（Ⅱ）由已知中a=1，b=

3

，我們易求出函數f（x）及導函數f′（x）的解析式，分別討論m＜0，m=0，m＞0三種情況下m的取值范圍，綜合討論結果即可得到答案．

解答：解：（Ⅰ）f'（x）=mx²+2ax+（1-b²）．    
因為函數f（x）是R上的增函數，所以f'（x）≥0在R上恒成立．
則有△=4a²-4（1-b²）≤0，即a²+b²≤1．
設

a=rcosθ b=rsinθ

（θ為參數，0≤r≤1），
則z=

3

a+b=r(

3

cosθ+sinθ)=2rsin(θ+

π

3

)
當sin(θ+

π

3

)=-1，且r=1時，z=

3

a+b取得最小值-2．
（Ⅱ）當a=1，b=

3

時，f(x)=

mx3

3

+x2-2x
f'（x）=mx²+2x-2
①當m＞0時，f'（x）=mx²+2x-2是開口向上的拋物線，
顯然f'（x）在（2，+∞）上存在子區間使得f'（x）＞0，所以m的取值范圍是（0，+∞）．
②當m=0時，顯然成立．
③當m＜0時，f'（x）=mx²+2x-2是開口向下的拋物線，
要使f'（x）在（2，+∞）上存在子區間使f'（x）＞0，
應滿足  

m＜0， - 1 m ≥2， f′(- 1 m )＞0，

或

m＜0 - 1 m ＜2 f′(2)＞0

解得-

1

2

＜m＜0．　　
則m的取值范圍是(-

1

2

，+∞)．

點評：本題考查的知識點是利用導數求閉區間上函數的最值，利用導數研究函數的單調性，其中（I）的關鍵是得到滿足條件時a²+b²≤1，（II）的關鍵是求出f'（x）=mx²+2x-2，將問題轉化為二次函數問題．