Question

如圖，已知兩個正四棱錐P-ABCD與Q-ABCD的高分別為1和2，AB=4．
（Ⅰ）證明PQ⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求異面直線AQ與PB所成的角；
（Ⅲ）求點P到平面QAD的距離．

Answer 1

【答案】分析：法一：（Ⅰ）連接AC、BD，設AC∩BD=O．證明PQ⊥平面ABCD，只需說明P、O、Q三點在一條直線上，QO⊥平面ABCD即可；
（Ⅱ）直線CA、DB、QP為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，通過，求異面直線AQ與PB所成的角；
（Ⅲ）設是平面QAD的一個法向量，利用，求點P到平面QAD的距離．
法二：（Ⅰ）．取AD的中點M，連接PM，QM．要證PQ垂直平面ABCD，只需證明PQ垂直平面ABCD內的兩條相交直線AD，AB即可．
（Ⅱ）．連接AC、BD設AC∩BD=O，．∠BPN（或其補角）是異面直線AQ與PB所成的角，利用余弦定理解三角形BPN，求出異面直線AQ與PB所成的角；
（Ⅲ）．由（Ⅰ）知，AD⊥平面PQM，所以平面PQM⊥平面QAD、過P作PH⊥QM于H，則PH⊥平面QAD，所以PH的長為點P到平面QAD的距離．解三角形PHQ即可．
解答：解法一：（Ⅰ）連接AC、BD，設AC∩BD=O．由P-ABCD與Q-ABCD
都是正四棱錐，所以PO⊥平面ABCD，QO⊥平面ABCD．
從而P、O、Q三點在一條直線上，所以PQ⊥平面ABCD．
（II）由題設知，ABCD是正方形，所以AC⊥BD．
由（I），PQ⊥平面ABCD，
故可以分別以直線CA、DB、QP為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系（如圖），由題設條件，相關各點的坐標分別是P（0，0，1），Q（0，0，-2），
所以，，
于是．
從而異面直線AQ與PB所成的角是．
（Ⅲ）．由（Ⅱ），點D的坐標是（0，-，0），，，
設是平面QAD的一個法向量，
由得．
取x=1，得．
所以點P到平面QAD的距離．．
解法二：（Ⅰ）．取AD的中點M，連接PM，QM．
因為P-ABCD與Q-ABCD都是正四棱錐，
所以AD⊥PM，AD⊥QM．從而AD⊥平面PQM．
又PQ?平面PQM，所以PQ⊥AD、同理PQ⊥AB，
所以PQ⊥平面ABCD、
（Ⅱ）．連接AC、BD設AC∩BD=O，由PQ⊥平面ABCD及正四棱錐的性質可知O在
PQ上，從而P、A、Q、C四點共面．
取OC的中點N，連接PN．
因為，
所以，
從而AQ∥PN．∠BPN（或其補角）是異面直線AQ
與PB所成的角．連接BN，
因為．
所以．
從而異面直線AQ與PB所成的角是．
（Ⅲ）．由（Ⅰ）知，AD⊥平面PQM，所以平面PQM⊥平面QAD、過P作PH⊥QM
于H，則PH⊥平面QAD，所以PH的長為點P到平面QAD的距離．
連接OM，則．
所以∠MQP=45°，
又PQ=PO+QO=3，于是．
即點P到平面QAD的距離是
點評：本題考查直線與平面垂直的判定，異面直線及其所成的角，點、線、面間的距離計算，考查空間想象能力，邏輯思維能力，計算能力，是中檔題．