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數列{an}的前n項和記為Sn,a1=t,an+1=2Sn+1(n∈N*).
(1)當t為何值時,數列{an}為等比數列?
(2)在(1)的條件下,若等差數列{bn}的前n項和Tn有最大值,且T3=15,又a1+b1,a2+b2,a3+b3成等比數列,求Tn
【答案】分析:(1)先由an+1=2Sn+1求出an+1=3an.再利用數列{an}為等比數列,可得a2=3a1.就可以求出t值.
(2)先利用T3=15求出b2=5,,再利用公差把b1和b3表示出來.代入a1+b1,a2+b2,a3+b3成等比數列,求出公差即可求Tn
解答:解:(1)由an+1=2Sn+1  ①可得an=2sn-1+1  (n≥2)②
 兩式作差得 an+1-an=2an⇒an+1=3an
因為數列{an}為等比數列⇒a2=2s1+1=2a1+1=3a1⇒a1=t=1.
所以數列{an}是首項為1,公比為3的等比數列 
∴an=3n-1
(2)設等差數列{bn}的公差為d,
由T3=15⇒b1+b2+b3=15⇒b2=5,
所以可設b1=5-d,b3=5+d.
又a1=1,a2=3,a3=9.
由題得(5-d+1)(5+d+9)=(5+3)2.⇒d=-10,d=2.
因為等差數列{bn}的前n項和Tn有最大值,且b2=5,所以d=-10.
解得b1=15,
所以Tn=15n+=20n-5n2
點評:本題綜合考查等差數列和等比數列的知識.對于等差數列,要想前n項和有最大值,必須是遞減數列,即公差為負數.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數學 來源: 題型:

設等比數列{an}的公比q≠1,Sn表示數列{an}的前n項的和,Tn表示數列{an}的前n項的乘積,Tn(k)表示{an}的前n項中除去第k項后剩余的n-1項的乘積,即Tn(k)=
Tn
ak
(n,k∈N+,k≤n),則數列
SnTn
Tn(1)+Tn(2)+…+Tn(n)
的前n項的和是
a12
2-q-q-1
(n+nq-
q-qn+1+1-q1-n
1-q
a12
2-q-q-1
(n+nq-
q-qn+1+1-q1-n
1-q
(用a1和q表示)

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科目:高中數學 來源: 題型:

若數列{an}的通項an=
1
pn-q
,實數p,q滿足p>q>0且p>1,sn為數列{an}的前n項和.
(1)求證:當n≥2時,pan<an-1
(2)求證sn
p
(p-1)(p-q)
(1-
1
pn
)

(3)若an=
1
(2n-1)(2n+1-1)
,求證sn
2
3

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知Sn是數列{an}的前n項和,an>0,Sn=
a
2
n
+an
2
,n∈N*
(1)求證:{an}是等差數列;
(2)若數列{bn}滿足b1=2,bn+1=2an+bn,求數列{bn}的通項公式bn

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科目:高中數學 來源: 題型:

(2012•商丘二模)數列{an}的前n項和為Sn,若數列{an}的各項按如下規律排列:
1
2
1
3
2
3
1
4
2
4
3
4
1
5
2
5
3
5
4
5
…,
1
n
2
n
,…,
n-1
n
,…有如下運算和結論:
①a24=
3
8

②數列a1,a2+a3,a4+a5+a6,a7+a8+a9+a10,…是等比數列;
③數列a1,a2+a3,a4+a5+a6,a7+a8+a9+a10,…的前n項和為Tn=
n2+n
4

④若存在正整數k,使Sk<10,Sk+1≥10,則ak=
5
7

其中正確的結論是
①③④
①③④
.(將你認為正確的結論序號都填上)

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科目:高中數學 來源: 題型:

給出下列命題:
①若數列{an}的前n項和Sn=2n+1,則數列{an}為等比數列;
②在△ABC中,如果A=60°,a=
6
,b=4
,那么滿足條件的△ABC有兩解;
③設函數f(x)=x|x-a|+b,則函數f(x)為奇函數的充要條件是a2+b2=0;
④設直線系M:xcosθ+(y-2)sinθ=1(0≤θ≤2π),則M中的直線所能圍成的正三角形面積都相等.
其中真命題的序號是

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