Question

已知雙曲線C的中心在原點，拋物線的焦點是雙曲線C

的一個焦點，且雙曲線過點（1, ）.     (1)求雙曲線的方程;

（2）設直線:與雙曲線C交于A、B兩點, 試問:

① 為何值時

② 是否存在實數, 使A、B兩點關于直線對稱(為常數), 若存在, 求出的值; 若不存在,

Answer 1

解: (1) 由題意設雙曲線方程為,把(1,)代入得（*）

又的焦點是（，0），故雙曲線的與（*）

聯立，消去可得，.

∴ ，（不合題意舍去）

于是，∴ 雙曲線方程為

 (2) 由消去得（*），當

 即（）時，與C有兩個交點A、B     

① 設A（，），B（，），因，故

即，由（*）知，，代入可得

 化簡得∴ ，檢驗符合條件，故當時，

② 若存在實數滿足條件，則必須

 由（2）、（3）得………（4）

把代入（4）得                     

這與（1）的矛盾，故不存在實數滿足條件.