Question

已知數列滿足，.

(1)求證：數列是等比數列；

(2)設，求數列的前項和；

(3)設，數列的前項和為，求證：(其中).

 

Answer 1

【答案】

（1）見解析；（2）；（3）見解析.

【解析】

試題分析：（1）首先由求出，然后時，構造函數，即可證明在條件下數列是等比數列，將時的值代入也符合，即證；（2）先由（1）得到，然后寫出的通項公式，根據等比數列前項和公式求出；（3）求出數列的通項公式，再由累加法求其前項和為，再判斷與的關系.

試題解析：（1）證明：由，得，

當時，，即，

所以是首項為，公比為的等比數列，

時，也符合，所以數列是等比數列；    .5分

（2），由（I）得，所以.

所以，

數列的前n項和

.                       10分

（3）證明：

 

所以，數列的前n項和為

因為當時，，所以                     14分

考點：1、函數的構造；2、等比數列的性質；3、等比數列的前項和；4、累加法求數列的前項和.