Question

已知函數f（x）=ax+-3ln x．
（1）當a=2時，求f （x） 的最小值；
（2）若f（x）在[1，e]上為單調函數，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）當a=2時，f（x）=2x+-3lnx，求導得f'（x）=2--=，因為定義域為開區間，求得極值即為最值．
（2）先求f'（x）=，再由“f（x）在[1，e]上為單調函數”轉化為“f'（x）≥0或f'（x）≤0在[1，e]上恒成立”，最后轉化為最值法求解．
解答：解：（1）當a=2時，f（x）=2x+-3lnx
f'（x）=2--=
令f'（x）=0得x=2或-（∵x＞0，舍去負值）
∴當a=2時，函數f（x）的最小值為5-3ln2．（6分）

（2）∵f'（x）=，
令h（x）=ax²-3x-a=a（x-）²-，
要使f（x）在[1，e]上為單調函數，
只需f'（x）在（1，e）內滿足：f'（x）≥0或f'（x）≤0恒成立，且等號只在孤立點取得．
∵h（1）=-3＜0
∴h（e）=ae²-3e-a≤0
∴a≤
①當0≤a≤時，f'（x）≤0恒成立
②當a＜0時，x=∉[1，e]，
∴h（x）＜0（x∈[1，e]）
∴f'（x）＜0，符合題意．
綜上可知，當a≤時，f（x）在[1，e]上為單調函數．（14分）
點評：本題主要考查用導數法研究函數的單調性，基本思路是：當函數為增函數時，導數大于等于零；當函數為減函數時，導數小于等于零，已知單調性求參數的范圍往往轉化為求相應函數的最值問題．