Question

一艘海岸緝私艇巡邏至A處時發現在其正東方向20km的海面B處有一艘走私船正以vkm/h的速度向北偏東30°的方向逃竄，緝私艇以vkm/h的速度沿 ________的方向追擊，能最快截獲走私船？若v=40，則追擊時間至少為 ________分鐘．

Answer 1

北偏東60度    10
分析：先假設經過時間t到P點時恰能追上，從而可表示出∠ABP、AB、BP、AP的值，再由余弦定理可求出vt的值，進而可結合余弦定理的變形應用可求出cos∠BAP的值，從而可確定緝私艇的追擊方向，再結合vt=20和v=40，可求出時間t的值．
解答：假設經過時間t到P點時恰能追上
由題意可得∠ABP=120°，AB=20，BP=vt，AP=vt
由余弦定理可得：
AP²=AB²+BP²-2AB×BPcos∠ABP
∴3v²t²=v²t²+400-2×20×vt×（-）∴vt=20或vt=-1（舍）
∴cos∠BAP==∴∠BAP=30°
∴緝私艇應以北偏東60度追擊；
當v=40時，t=h，即時間t==10分鐘
故答案為：北偏東60度；10
點評：本土主要考查解三角形的實際應用，考查余弦定理的應用和計算能力．