Question

如圖，橢圓G的中心在坐標原點，其中一個焦點為圓F：x²+y²-2x=0的圓心，右頂點是圓F與x軸的一個交點．已知橢圓G與直線l：x-my-1=0相交于A、B兩點．
（I）求橢圓的方程；
（Ⅱ）求△AOB面積的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（I）設出橢圓方程，圓F的標準方程為（x-1）²+y²=1，圓心為F（1，0），圓與x軸的交點為（0，0）和（2，0），從而可求a=2，半焦距c=1，由此能求出橢圓方程．
（Ⅱ）直線與橢圓方程聯立．利用韋達定理，求出S_△AOB，利用換元法及導數，即可求得S_△AOB的最大值．
解答：解：（I）設橢圓方程為（a＞b＞0），圓F的標準方程為（x-1）²+y²=1，
圓心為F（1，0），圓與x軸的交點為（0，0）和（2，0），
由題意a=2，半焦距c=1，
∴b²=a²-c²=4-1=3，
∴橢圓方程為．
（Ⅱ）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由，消元可得（3m²+3）y²+6my-9=0
∴y₁+y₂=-，y₁y₂=-
∴|y₁-y₂|=
∴S_△AOB=|OF||y₁-y₂|=
令，則t≥1，m²=t²-1
∴S_△AOB=
∴S′_△AOB=
∵t≥1，∴S′_△AOB＜0
∴S_△AOB在t∈[1，+∞）上是減函數
∴當t=1時，S_△AOB取得最大值，最大值為．
點評：本題考查橢圓方程和三角形面積的求法，考查直線與橢圓的位置關系，考查導數知識的運用，正確表示三角形的面積是關鍵．