Question

如圖，已知四棱錐P-ABCD的底面是直角梯形，∠ABC=∠BCD=90°，AB=BC=2CD=2，PB=PC=3，側面PBC⊥底面ABCD，O是BC的中點．
（1）求證：DC∥平面PAB；
（2）求四棱錐P-ABCD的體積．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題意可得，AB∥CD，CD?平面PAB，而AB?平面PAB，根據直線和平面平行的判定定理可得 CD∥平面PAB．
（Ⅱ）先證明所以PO⊥平面ABCD，可得PO是棱錐的高，求得PO以及直角梯形ABCD的面積，再根據四棱錐P-ABCD的體積為

1

3

•S_ABCD•PO，運算求得結果．

解答：（Ⅰ）證明：由題意可得，AB∥CD，CD?平面PAB，而AB?平面PAB，所以CD∥平面PAB．…（4分）
（Ⅱ）證明：因為PB=PC，O是BC的中點，所以PO⊥BC．
又側面PBC⊥底面ABCD，PO?平面PBC，面PBC∩底面ABCD=BC，
所以PO⊥平面ABCD．…（8分）
所以PO是棱錐的高，又AB=BC=2CD=2，PB=PC=3，PO=

PB2-BO2

=

9-1

=2

2

，
四棱錐P-ABCD的體積為

1

3

•S_ABCD•PO=

1

3

（

BC+AD

2

•BC）PO=

1

3

×

2+1

2

×2×2

2

=2

2

．

點評：本題主要考查直線和平面平行的判定定理的應用，求椎體的體積，屬于中檔題．