Question

如圖，在四棱錐S-ABCD，AB⊥AD，AB∥CD，CD=3AB=3，平面SAD⊥平面ABCD，E是線段AD上一點，AE=ED=

3

，SE⊥AD
（1）證明：平面SBE⊥平面SEC
（2）若SE=1，求直線CE與平面SBC所成角的余弦值．

Answer 1

分析：（1）由平面SAD⊥平面ABCD，知SE⊥平面ABCD，所以SE⊥BE，由四邊形ABCD是直角梯形，AB∥CD，AE=AB，DE=DC，CD=3AB=3，AE=ED=

3

，可得BE⊥CE，由此能夠證明BE⊥平面SEC，從而可得平面SBE⊥平面SEC；
（2）建立空間直角坐標系，求出平面SBC的法向量，

CE

，利用向量的夾角公式，即可求直線CE與平面SBC所成角的余弦值．

解答：（1）證明：∵平面SAD⊥平面ABCD，平面SAD∩平面ABCD=AD，SE?平面SAD，SE⊥AD
∴SE⊥平面ABCD，
∵BE?平面ABCD，∴SE⊥BE
∵AB⊥AD，AB∥CD，CD=3AB=3，AE=ED=

3

，
∴∠AEB=30°，∠CED=60°，
∴∠BEC=90°，即BE⊥CE，
∵SE?平面SEC，CE?平面SEC，SE∩CE=E，
∴BE⊥平面SEC，
∵BE?平面SBE，
∴平面SBE⊥平面SEC；
（2）解：由（Ⅰ）知，直線ES，EB，EC兩兩垂直．如圖，以EB為x軸，以EC為y軸，以ES為z軸，建立空間直角坐標系．
則E（0，0，0），C（0，2

3

，0），S（0，0，1），B（2，0，0），
∴

CB

=（2，-2

3

，0），

CS

=（0，-2

3

，1）．
設平面SBC的法向量為

n

=（x，y，z），則

2x-2 3 y=0 -2 3 y+z=0

，可得一個法向量

n

=（

3

，1，2

3

），
設直線CE與平面SBC所成角為θ，

CE

=（0，-2

3

，0），
則sinθ=|

n • CE

| n || CE |

|=

1

4

，
∴直線CE與平面SBC所成角的正弦值

1

4

，
∴直線CE與平面SBC所成角的余弦值為

15

4

．

點評：本題綜合考查了面面垂直的性質定理，線面垂直的判定定理，線面垂直的性質定理以及線面角等，考查向量知識的運用，考查學生的計算能力，屬于中檔題．