Question

已知函數f（x）=x²－4，設曲線y＝f（x）在點（x_n，f（x_n））處的切線與x軸的交點為（x_n+1,0）（n），其中為正實數.  
（Ⅰ）用表示x_n+1；
（Ⅱ）若a₁=4，記a_n=lg，證明數列｛｝成等比數列，并求數列｛x_n｝的通項公式；
（Ⅲ）若x₁＝4，b_n＝x_n－2，T_n是數列｛b_n｝的前n項和，證明T_n<3.

Answer 1

（1）（2）見解析（3）見解析

（Ⅰ）由題可得．
所以曲線在點處的切線方程是：．
即．令，得．
即．顯然，∴．
（Ⅱ）由，知，同理．
　　　故．從而，即．
所以，數列成等比數列．
故．即．從而所以
（Ⅲ）證明：由（Ⅱ）知，∴   
∴   當時，顯然．
當時，
∴．
綜上，．