Question

已知兩點M（1，

5

4

），N（-4，-

5

4

），給出下列曲線方程：
①4x+2y-1=0
②x²+y²=3
③

x2

2

+y2=1
④

x2

2

-y2=1
在曲線上存在P滿足|MP|=|NP|的所有曲線方程是

②③④

．

Answer 1

分析：求出線段MN的垂直平分線方程，然后分別和題目給出的四條曲線方程聯立，利用判別式判斷直線和曲線的交點情況，從而判斷給出的曲線上是否存在點P，使得|MP|=|NP|．

解答：解：由M（1，

5

4

），N（-4，-

5

4

），
得kMN=

5 4 -(- 5 4 )

1-(-4)

=

1

2

，M、N的中點坐標為（-

3

2

，0），
∴MN的垂直平分線方程為y-0=-2（x+

3

2

），即y=-2x-3．
①∵直線y=-2x-3與直線4x+2y-1=0平行，∴直線4x+2y-1=0上不存在點P，使|MP|=|NP|；
②聯立

y=-2x-3 x2+y2=3

，得5x²+12x+6=0，△=12²-4×5×6=24＞0．
∴直線y=-2x-3與x²+y²=3有交點，曲線x²+y²=3上存在點P滿足|MP|=|NP|；
③聯立

y=-2x-3 x2 2 +y2=1

，得9x²+24x+16=0，△=24²-4×9×16=0．
∴直線y=-2x-3與

x2

2

+y2=1有交點，曲線

x2

2

+y2=1上存在點P滿足|MP|=|NP|；
④聯立

y=-2x-3 x2 2 -y2=1

，得7x²+24x+20=0，△=24²-4×7×20=16＞0．
∴直線y=-2x-3與

x2

2

-y2=1有交點，曲線

x2

2

-y2=1上存在點P滿足|MP|=|NP|．
∴曲線上存在P滿足|MP|=|NP|的所有曲線方程是②③④．
故答案為：②③④．

點評：本題考查了曲線與方程，訓練了線段的垂直平分線方程的求法，考查了利用判別式法判斷兩條曲線的位置關系，是中檔題．