Question

（Ⅰ）在三角形ABC中，|AC|=2，|AB|=1，∠BAC=60°，G是三角形ABC的重心，求

GB

•

GC

．
（Ⅱ）已知向量

a

=（cos

3x

2

，sin

3x

2

），

b

=（cos

x

2

，-sin

x

2

），|

a

+

b

|=1，x∈[0，π]，求x．

Answer 1

分析：（I）利用向量的運算法則和重心定理及數量積運算即可得出；
（II）利用模的計算公式和三角函數的平方關系及其兩角和差的余弦公式即可得出．

解答：解：（I）設

AB

=

a

，

AC

=

b

．
則

GB

=

2

3

EB

=

2

3

(

a

-

1

2

b

)，

GC

=

2

3

FC

=

2

3

(

b

-

1

2

a

)．
∴

GB

•

GC

=

2

3

(

a

-

1

2

b

)•

2

3

(

b

-

1

2

a

)
=

4

9

(

a

•

b

-

1

2

a

2-

1

2

b

2+

1

4

a

•

b

)
=

4

9

(

5

4

a

•

b

-

1

2

a

2-

1

2

b

2)
=

4

9

(

5

4

|

a

| |

b

|cos60°-

1

2

|

a

|2-

1

2

|

b

|2)
=

5

9

．
（II）∵|

a

+

b

|=

(cos 3x 2 +cos x 2 )2+(sin 3x 2 -sin x 2 )2

=

2+2(cos 3x 2 cos x 2 -sin 3x 2 sin x 2 )

=

2+2cos2x

=1，
∴cos2x=-

1

2

，
又x∈[0，π]，∴2x∈[0，2π]．
∴2x=

2π

3

或

4π

3

，
解得x=

π

3

或x=

2π

3

．

點評：熟練掌握向量的運算法則和重心定理及數量積運算、模的計算公式和三角函數的平方關系及其兩角和差的余弦公式是解題的關鍵．