Question

【題目】已知函數．

（1）若在上單調遞增，求的取值范圍；

（2）證明：當時，不等式在上恒成立．

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析.

【解析】

（1）由題意得出對任意的恒成立，利用參變量分離法得出在上恒成立．構造函數，利用導數求出函數的最小值，由此可得出實數的取值范圍；

（2）分和來證明不等式成立，在時顯然成立，在時，可考慮證，即證，構造函數，利用導數分析函數的單調性與最值，即可得證.

（1）因為，所以．

因為函數在上單調遞增，所以在上恒成立，

即在上恒成立，即在上恒成立．

令，則，

所以當時，，函數單調遞減；當時，，函數單調遞增．

所以，所以，即，

故的取值范圍為；

（2）顯然，當時，在上恒成立．

當時，，所以可考慮證，即證．

令，則，

當時，，，即函數在上單調遞增，

所以當時，，

所以當時，．

綜上，當時，不等式在上恒成立．