Question

已知數列{b_n}是等差數列，b₁=1,b₁+b₂+…+b₁₀=145.
(1)求數列{b_n}的通項公式b_n;
(2)設數列{a_n}的通項a_n=log_a(1+)(其中a＞0且a≠1)記S_n是數列{a_n}的前n項和，試比較S_n與log_ab_n+1的大小，并證明你的結論

Answer 1

（1）b_n=3n－2（2）當a＞1時，S_n＞log_ab_n+1?,當 0＜a＜1時，S_n＜log_ab_n+1

設數列{b_n}的公差為d,由題意得,∴b_n=3n－2
(2)證明：由b_n=3n－2知
 
S_n=log_a(1+1)+log_a(1+)+…+log_a(1+)
=log_a［(1+1)(1+)…(1+)］
而log_ab_n+1=log_a,于是，比較S_n與log_ab_n+1?的大小比較(1+1)(1+)…
(1+)與的大小.
取n=1，有(1+1)=
取n=2，有(1+1)(1+
推測：(1+1)(1+)…(1+)＞ (^*)
①當n=1時，已驗證(^*)式成立.
②假設n=k(k≥1)時(^*)式成立，即(1+1)(1+)…(1+)＞
則當n=k+1時，


,即當n=k+1時，(^*)式成立
由①②知，(^*)式對任意正整數n都成立.
于是，當a＞1時，S_n＞log_ab_n+1?,當 0＜a＜1時，S_n＜log_ab_n+1