Question

5．已知函數f（x）=e^x-3+x-2（e為自然對數的底數），g（x）=x²-ax-a+3，若存在實數x₁，x₂，使得f（x₁）=g（x₂）=0，且|x₁-x₂|≤1，則實數a的取值范圍是[2，3]．

Answer 1

分析 由題意存在實數x₁，x₂，f（x₁）=0，即e^x-3+x-2=0，可求x₁=1，|x₁-x₂|≤1，故知0≤x₂≤2，即x²-ax-a+3=0時在0≤x₂≤2有解，分離參數利用不等式性質求解最值即可求實數a的取值范圍．

解答 解：由題意：存在實數x₁使得函數f（x₁）=0，即f（x₁）=e^x₁-3+x₁-2=0，
解得：x₁=1，
∵|x₁-x₂|≤1，
即：g（x₂）=0，且|1-x2|≤1，
可得：0≤x₂≤2；
即x²-ax-a+3=0在0≤x₂≤2有解，
那么：$a=\frac{{x}^{2}+3}{x+1}$=$\frac{（x+1）^{2}-2（x+1）+4}{x+1}$=$（x+1）+\frac{4}{x+1}-2$．
設t=x+1，（1≤t≤3），則$\frac{4}{t}+t$在[1，2]遞減，[2，3]遞增．
∴可得最小值為2，最大值為3，
則a的取值范圍是[2，3]．
故答案為：[2，3]．

點評 本題考查了二次函數的有解問題，構造思想，轉化思想，分離參數利用不等式性質求解最值．屬于中檔題．