Question

設坐標原點為O，拋物線y²=4x與過點（m，0）的直線交于A、B兩點，若

OA

•

OB

=-3，則m的值為

1或3

．

Answer 1

分析：根據題意設直線的方程為：x=ty+m，并且設A、B兩點的坐標分別為（x₁，y₁）和（x₂，y₂ ），即可得到

OA

•

OB

=（1+t²）y₁•y₂+tm（y₁+y₂）+m²=-3，再聯立直線與拋物線的方程得到共有y的一元二次方程，進而結合根與系數的關系求出m的數值．

解答：解：因為直線與拋物線y²=4x交于A、B兩點，
所以直線的斜率不等于0，
所以設直線的方程為：x=ty+m，
設A、B兩點的坐標分別為（x₁，y₁）和（x₂，y₂ ），
所以

OA

=（x₁，y₁），

OB

=（x₂，y₂ ），
所以

OA

•

OB

=（x₁，y₁）•（x₂，y₂ ）=x₁•x₂+y₁•y₂=（1+t²）y₁•y₂+tm（y₁+y₂）+m²=-3，①
聯立直線與拋物線的方程

y2=4x x=ty+m

，
代入整理可得：y²-4ty-4m=0，
所以△=16（t²+m）＞0，y₁+y₂=4t，y₁•y₂=-4m，
所以代入①可得：m²-4m+3=0，
解得：m=1或者m=3，代入△可得符合題意．
故答案為：1或3．

點評：本題主要考查直線和圓錐曲線的位置關系，一元二次方程根與系數的關系，并且借助于向量的數量積公式考查直線與拋物線的相交問題，解決此類問題的關鍵是求出y₁+y₂ 和y₁•y₂的值
（x₁+x₂ 和x₁•x₂的值），此題屬于中檔題，只要細心計算即可得到全分，此題考查學生分析問題與解決問題的能力．