Question

中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，它的離心率為，與直線x+y－1=0相交于兩點(diǎn)Ｍ、Ｎ，且以為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)．求橢圓的方程．

Answer 1

解析:

由題意,設(shè)中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的橢圓方程為,

∵離心率e= ∴a=2b,∴橢圓的方程可化為

設(shè)，由于點(diǎn)Ｍ、Ｎ都在直線x+y－1=0上，

因此，＝

∵以為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn),即ＯＭ⊥ＯＮ，∴即,

即,將直線x+y－1=0與橢圓的方程聯(lián)立消去y得:

,∵Ｍ、Ｎ是直線與橢圓的兩交點(diǎn),

∴，,代入得:

,　解得，∴,

∴所求的橢圓方程為,即.