Question

設函數f(x)=

x+ 1 x

[x]•[ 1 x ]+[x]+[ 1 x ]+1

(x＞0)，其中[x]表示不超過x的最大整數，如[2]=2， [

1

3

]=0， [1.8]=1．
（Ⅰ）求f(

3

2

)的值；
（Ⅱ）若在區間[2，3）上存在x，使得f（x）≤k成立，求實數k的取值范圍；
（Ⅲ）求函數f（x）的值域．

Answer 1

分析：（I）利用賦值法，可求f(

3

2

)的值；
（Ⅱ）確定f（x）在區間[2，3）上遞增，可得f（x）在區間[2，3）上的值域，利用f（x）≤k成立，即可求實數k的取值范圍；
（Ⅲ）x∈（1，+∞）時，f（x）的值域為I₁∪I₂∪…∪I_n∪…，設an=

n+ 1 n

n+1

=

n2+1

n(n+1)

，bn=

n+1+ 1 n+1

n+1

=1+

1

(n+1)2

，則I_n=[a_n，b_n）．從而可求函數f（x）的值域．

解答：解：（Ⅰ）因為[

3

2

]=1，[

2

3

]=0，所以f(

3

2

)=

3 2 + 2 3

[ 3 2 ]•[ 2 3 ]+[ 3 2 ]+[ 2 3 ]+1

=

13

12

．-------------（2分）
（Ⅱ）因為2≤x＜3，所以[x]=2，[

1

x

]=0，----------------------（3分）
則f(x)=

1

3

(x+

1

x

)．
求導得f′(x)=

1

3

(1-

1

x2

 )，當2≤x＜3時，顯然有f'（x）＞0，
所以f（x）在區間[2，3）上遞增，----------------------（5分）
即可得f（x）在區間[2，3）上的值域為[

5

6

，

10

9

)，
在區間[2，3）上存在x，使得f（x）≤k成立，所以k≥

5

6

．--------------------（7分）
（Ⅲ）由于f（x）的表達式關于x與

1

x

對稱，且x＞0，不妨設x≥1．
當x=1時，

1

x

=1，則f(1)=

1

2

；----------------------（8分）
當x＞1時，設x=n+αZ，n∈N^*，0≤αZ＜1．
則[x]=n，[

1

x

]=0，所以f(x)=f(n+α)=

n+α+ 1 n+α

n+1

．-----------------（9分）
∵設g(x)=x+

1

x

，g′(x)=1-

1

x2

＞0，g（x）在[1，+∞）上是增函數，
又n≤n+α＜n+1，∴n+

1

n

≤n+α+

1

n+α

＜n+1+

1

n+1

，
當x≥2時，f(x)∈[

n+ 1 n

n+1

，

n+1+ 1 n+1

n+1

)=In(n∈N*，n≥2)
當x∈（1，2）時，f(x)∈(1，

5

4

)=I1…（11分）
故x∈（1，+∞）時，f（x）的值域為I₁∪I₂∪…∪I_n∪…
設an=

n+ 1 n

n+1

=

n2+1

n(n+1)

，bn=

n+1+ 1 n+1

n+1

=1+

1

(n+1)2

，
則I_n=[a_n，b_n）．
∵an+1-an=

n-2

n(n+1)(n+2)

，
∴當n≥2時，a₂=a₃＜a₄＜…＜a_n＜…
又b_n單調遞減，∴b₂＞b₃＞…＞b_n＞…
∴[a₂，b₂）=I₂

? ≠

I₃

? ≠

I₄

? ≠

…

? ≠

I_n

? ≠

…----------------------（12分）
∵I1=[a1，b1)=[1，

5

4

)，I2=[a2，b2)=[

5

6

，

10

9

)，
∴I₁∪I₂∪…∪I_n∪…=I₁∪I₂=[1，

5

4

)∪[

5

6

，

10

9

)=[

5

6

，

5

4

)Z．
綜上所述，f（x）的值域為{

1

2

}∪[

5

6

，

5

4

)．----------------------（13分）
說明：其他正確解法按相應步驟給分．

點評：本題考查新定義，考查導數知識的運用，考查函數的值域，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．