Question

設f（x）是定義在R上的奇函數，且當x≥0時，f（x）=x²x∈[t，t+2]，若對任意的，不等式f(x)≤

1

2

f(x+t)恒成立，則實數t的取值范圍是

 

．

Answer 1

分析：由當x≥0時，f（x）=x²，函數是奇函數，可得當x＜0時，f（x）=-x²，從而f（x）在R上是單調遞增函數，且滿足2f（x）=f（

2

x），再根據不等式f（x+t）≥2f（x）=f（

2

x）在[t，t+2]恒成立，可得x+t≥

2

x在[t，t+2]恒成立，即可得出答案．

解答：解：當x≥0時，f（x）=x²
∵函數是奇函數
∴當x＜0時，f（x）=-x²
∴f（x）=

x2  x≥0 -x2 x＜0

，
∴f（x）在R上是單調遞增函數，
且滿足2f（x）=f（

2

x），
∵不等式

1

2

f（x+t）≥f（x）=

1

2

f（

2

x）在[t，t+2]恒成立，
∴x+t≥

2

x在[t，t+2]恒成立，
即：x≤（1+

2

）t在[t，t+2]恒成立，
∴t+2≤（1+

2

）t
解得：t≥

2

，
故答案為：[

2

，+∞）．

點評：本題考查了函數恒成立問題及函數的奇偶性，難度適中，關鍵是掌握函數的單調性與奇偶性．