Question

如圖，四邊形ABCD是一個邊長為100米的正方形地皮，其中ATPS是一半徑為90米的扇形小山，其余部分都是平地，P是弧TS上一點，現有一位開發商想在平地上建造一個兩邊落在BC與CD上的長方形停車場PQCR，求長方形停車場PQCR面積的最大值．

Answer 1

分析：求停車場面積，需建立長方形的面積函數．這里自變量的選取十分關鍵，通常有代數和三角兩種設未知數的方法如果設長方形PQCR的一邊長為x（不妨設PR=x），則另一邊長PQ=100-

902-(100-x)2

，這樣S_PQCR=PQ•PR=x•（100-

902-(100-x)2

），但該函數的最值不易求得，如果將∠BAP作為自變量，用它可表示PQ、PR，再建立面積函數，則問題就容易得多．

解答：解：延長RP交AB于M，設∠PAB=α（0°＜α＜90°），則
AM=90cosα，MP=90sinα，PQ=100-90cosα，PR=100-90sinα．
∴S_PQCR=PQ•PR=（100-90cosα）（100-90sinα）
=10000-9000（cosα+sinα）+8100cosαsinα．
設t=cosα+sinα，
∵0°≤α≤90°
∴t∈(1，

2

]，cosαsinα=

t2-1

2

．
∴SPQCR=10000-9000t+8100×

t2-1

2

=4050(t-

10

9

)2+950．
∴當t=

2

時，S_PQCR有最大值14050-9000

2

．
答：長方形停車場PQCR面積的最大值為14050-9000

2

平方米．

點評：本題考查的重點是函數模型的構建，解題的關鍵是自變量的選取，利用配方法求函數的最值．