Question

已知函數，，．

（1）若在存在極值，求的取值范圍；

（2）若，問是否存在與曲線和都相切的直線？若存在，判斷有幾條？并求出公切線方程，若不存在，說明理由。

 

Answer 1

【答案】

（1）（2）存在一條公切線，切線方程為：

【解析】

試題分析：（Ⅰ） 依題有：則在上有變號零點；

令，則

當，則；當，則

因此，在處取得極小值。            3分

而，，

易知，

①當存在兩個變號零點時，，可得：

②      當存在一個變號零點時，，可得：

綜上，當在上存在極值時，的范圍為：       6分

(Ⅱ) 當時，，

易知是與的一個公共點。

若有公共切線，則必為切點，∵，∴

可知在處的切線為

而，∴則

可知在處的切線也為

因此，存在一條公切線，切線方程為：。          12分

考點：函數單調性極值最值

點評：函數在某區間有極值，則在區間上有變號零點，轉化為導函數最大值最小值一正一負，第二問找到兩函數的公共點是求解的關鍵，只需求在該點處的兩條切線看其是否相同