Question

已知函數．
（Ⅰ）求函數f（x）的單調區間和極值；
（Ⅱ）已知對任意的x＞0，ax（2-lnx）≤1恒成立，求實數a的取值范圍；
（Ⅲ）是否存在實數a使得函數f（x）在[1，e]上最小值為0？若存在，試求出a的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）函數的定義域為（0，+∞）
求導函數可得
由f′（x）＞0，可得；由f′（x）＜0，可得
∴函數f（x）的單調增區間為，單調減區間為
當時，函數取得極大值為；
（Ⅱ）已知對任意的x＞0，ax（2-lnx）≤1恒成立，則
①2-lnx＞0時，恒成立
令，
∴
當lnx＜1時，g′（x）＜0，當1＜lnx＜2時，g′（x）＞0，
∴lnx=1時，即x=e時，函數取得最小值為
∴
②2-lnx＜0時，恒成立
令，
∴
當2-lnx＜0時，g′（x）＞0，
∴函數在（e²，+∞）上單調增，函數無最大值，故此時不恒成立；
∴實數a的取值范圍是；
（Ⅲ）不存在a，使得函數f（x）在[1，e]上最小值為0
由（Ⅰ）知函數f（x）的單調增區間為，單調減區間為
若，即，則函數f（x）在[1，e]上最小值為=0，
∴a=e，不滿足題意
若，即a＞1，則函數f（x）在[1，e]上最小值為f（1）=1，不滿足題意
綜上知，不存在a，使得函數f（x）在[1，e]上最小值為0．
分析：（Ⅰ）函數的定義域為（0，+∞），求導函數，由f′（x）＞0，可得函數f（x）的單調增區間；由f′（x）＜0，可得函數的單調減區間，從而可求函數的極值；
（Ⅱ）已知對任意的x＞0，ax（2-lnx）≤1恒成立，分類討論①2-lnx＞0時，恒成立；②2-lnx＜0時，恒成立，研究右邊函數的最值，即可求得實數a的取值范圍；
（Ⅲ）不存在a，使得函數f（x）在[1，e]上最小值為0，利用函數f（x）的單調增區間為，單調減區間為，結合函數的定義域[1，e]進行分類討論，從而可得結論．
點評：本題重點考查導數知識的運用，考查函數的單調性與極值，考查恒成立問題，考查分類討論的數學思想，綜合性強．