Question

證明：對于任意實數(shù)x，y都有x⁴+y⁴≥

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xy(x+y)2．

Answer 1

分析：本題可用分析法來解答，分析法：證明使x⁴+y⁴≥

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xy(x+y)2成立的充分條件成立，

解答：證明：要證x⁴+y⁴≥

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xy(x+y)2，只需證明2（x⁴+y⁴）≥xy（x+y）²，
即證2（x⁴+y⁴）≥x³y+xy³+2x²y²，---------------------------（4分）
只需x⁴+y⁴≥x³y+xy³與x⁴+y⁴≥2x²y²同時成立即可，
又知x⁴+y⁴-2x²y²=（x²-y²）²≥0，即x⁴+y⁴≥2x²y²成立，
只需再有x⁴+y⁴≥x³y+xy³成立即可，--------------------（8分）
由于x⁴+y⁴-x³y-xy³=（x-y）（x³-y³）
∵x-y與x³-y³同號，∴（x-y）（x³-y³）≥0，即x⁴+y⁴≥x³y+xy³成立，
∴對于任意實數(shù)x，y都有x⁴+y⁴≥

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xy(x+y)2成立--------------（12分）

點評：本小題主要考查不等式的證明等基礎(chǔ)知識，考查運算變形能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎(chǔ)題．