Question

在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，下面結論錯誤的是（　　）

A．BD∥平面CB₁D₁

B．AC₁⊥BD

C．AC₁⊥平面CB₁D

D．異面直線AD與CB₁所成角為45°

Answer 1

分析：根據線面平行判定定理，得到A項沒有錯誤；根據線面垂直的判定與性質，可得B項沒有錯誤；根據B項的證明可得AC₁⊥平面CB₁D₁，從而AC₁⊥平面CB₁D不成立，C項錯誤；根據正方體的性質和異面直線所成角的定義，得到D項沒有錯誤．

解答：解：根據題意得
對于A，∵平行四邊形BB₁D₁D中，BD∥B₁D₁，
BD?平面CB₁D₁且B₁D₁?平面CB₁D₁，
∴BD∥平面CB₁D₁，可得A項沒有錯誤；
對于B，∵BD⊥AC，BD⊥AA₁，AC∩AA₁=A
∴BD⊥平面AA₁C₁C，可得AC₁⊥BD，得B項沒有錯誤；
由B項的證明，可得AC₁⊥B₁D₁，AC₁⊥B₁C，可得AC₁⊥平面CB₁D₁
因為經過點C有且僅有1個平面與AC₁垂直，所以AC₁⊥平面CB₁D不成立，故C項錯誤
對于D，∠B₁CC₁等于異面直線AD與CB₁所成角，由正方形中BB₁C₁C中可得∠B₁CC₁為45°
因此D項也沒有錯誤
故選：C

點評：本題在正方體中判斷線面位置關系和異面直線所成角．著重考查了線面平行判定定理、線面垂直的判定與性質和異面直線所成角求法等知識，屬于中檔題．