Question

已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=90°，AD=2，BC=1，P為腰DC上的動點，則|2

PA

+3

PB

|的最小值為

7

．

Answer 1

分析：根據題意，設CD=a，以直線DA，DC分別為x，y軸建立平面直角坐標系，則A（2，0），B（1，a），C（0，a），D（0，0），設P（0，b）（0≤b≤a），求出2

PA

+3

PB

，根據向量模的計算公式，即可求得|2

PA

+3

PB

|，利用完全平方式非負，即可求得其最小值．

解答：解：如圖，以直線DA，DC分別為x，y軸建立平面直角坐標系，設CD=a，
則A（2，0），B（1，a），C（0，a），D（0，0）
設P（0，b）（0≤b≤a）
則

PA

=（2，-b），

PB

=（1，a-b），
∴2

PA

+3

PB

=（7，3a-5b）
∴|2

PA

+3

PB

|=|（7，3a-5b）|=

49+(3a-5b)2

≥7．
故答案為：7．

點評：此題是個基礎題．考查向量在幾何中的應用，以及向量模的求法，同時考查學生靈活應用知識分析解決問題的能力．