Question

設等差數列{a_n}的前n項和為S_n，已知a₃=24，S₁₁=10．
（Ⅰ）求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）求數列{a_n}的前n項和S_n；
（Ⅲ）當n為何值時，S_n最大，并求S_n的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設等差數列{a_n}的公差為d，可得

a1=40 d=-8

，進而可得數列{a_n}的通項公式；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，a_n=48-8n，a₁=40，代入求和公式即可；（Ⅲ）由（Ⅱ）可得S_n=-4n²+44n，由二次函數的知識可得答案．

解答：解：（Ⅰ）設等差數列{a_n}的公差為d，依題意有

a1+2d=24 11a1+ 11×10 2 d=10

，
解得

a1=40 d=-8

，
∴數列{a_n}的通項公式為：a_n=40-8（n-1）=48-8n．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，∴a_n=48-8n，a₁=40，
故S_n=

n(a1+an)

2

=

n(40+48-8n)

2

=-4n²+44n
（Ⅲ）由（Ⅱ）有，S_n=-4n²+44n=-4(n-

11

2

)2+121
故當n=5或n=6時，S_n最大，且S_n的最大值為S₅=S₆=120．

點評：本題考查等差數列的通項公式和求和公式，涉及二次函數的最值問題，屬基礎題．